Entscheide, ob der Graph der Funktion f punktsymmetrisch bzgl. In diesem Kapitel besprechen wir das Symmetrieverhalten einer Funktion. Ganzrationale Funktion - Polynome. Für einen Hochpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) < 0\), Für einen Tiefpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) > 0\), 1.) Also kann maximal drei Nullstellen haben. Ziel ist es, deren Grad und die Koeffizienten zu bestimmen. Das Ergebnis ist wieder eine ganzrationale Funktion. Ableitung stets ungleich Null ist. Faktor ist gleich Null für \(x = 0\).Die erste Nullstelle haben wir demnach bereits gefunden: \(x_1 = 0\). Da wir \(x_0\) und \(y_0\) eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung \(m\) ermitteln. Das bedeutet, dass die x- und y-Werte für beide Funktionen an diesen Punkten identisch sind. Wie gerade gezeigt wurde, kann die Funktion jeden Wert von \(-\infty\) bis \(+\infty\) annehmen. Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Wendepunktes.\(m\) ist die Steigung der Tangente. Nullstellen der 1. Da wir \(x_0\) und \(y_0\) eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung \(m\) ermitteln. Funktion, \[\begin{align*}f({\color{red}x_1}) &= f\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right) = \left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right)^3-6\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right)^2+8 \cdot {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}} \\ &= {\color{blue}\frac{16\sqrt{3}}{9}} \approx 3,08\end{align*}\], \[\begin{align*}f({\color{red}x_2}) &= f\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right) = \left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right)^3-6\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right)^2+8 \cdot {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}} \\ &= {\color{blue}-\frac{16\sqrt{3}}{9}} \approx -3,08\end{align*}\]. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. wohingegen eine gebrochenrationale Funktion einen Bruch aufweist und von diesem Typ ist: Noch ein Wort zu Ableitungen. Mit ganzrationalen Funktionen befassen wir uns in diesem Artikel. Zwischenden beiden "Enden" der Funktion können beliebig viele Maxima, Minima und Wendepunkte liegen. Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die nur aus Zahlen und x hoch irgendwas bestehen, also so etwas wie , aber auch oder oder auch . Ganzrationale Funktionen lassen sich addieren oder voneinander subtrahieren. Der 1. Über das Randverhalten von Minimalflächen. Ableitung ein und notiere das Vorzeichen in der zweiten Reihe. Der Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt. Beispiel 3. Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion zweiten Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form = + + mit ≠ist. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Ganzrationale Funktion Graph oberhalb/unterhalb der x-Achse Bei ganzrationalen Funktionen kann sich das Vorzeichen nur an den Nullstellen ändern. Die Funktion f ist streng monoton zunehmend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt. Für viele stellt sich sicher erst einmal die Frage: Was ist damit gemeint? Schulbuch (Gesamtfassung) Eigenschaften von Funktionen; Änderungsraten und Ableitung; Grundlagen der Stochastik; GR-Funktionen untersuchen; Punkte und Vektoren im Raum; Projektideen; Jahrgang 12 (G9) - Q1-Phase. Sie besagt: \(f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}\), Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:"Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?". Der 2. Wann wird dieser Faktor gleich Null?Ansatz: \(x^2-6x+8 = 0\). Sehen wir uns nun einige Beispiele zu ganzrationale Funktionen an. Zusammengefasst ergeben sich folgende Verlaufsformen für Potenzfunktionen: zurück zum Inhaltsverzeichnis . sehr kleine Zahlen einsetzen? größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen des Funktionswerts in die Tabelle eintragen. Danach analysieren wir das Ergebnis. Quadratische Gleichungen lösen wir gewöhnlich mit Hilfe der Mitternachtsformel. Randverhalten von Potenzfunktionen. Was passiert, wenn wir in unsere Funktion sehr große bzw. Für \(x > 2\) ist der Graph linksgekrümmt - entsprechend ist er für \(x < 2\) rechtsgekrümmt. Als erstes sehen wir uns an, was eine ganzrationale Funktion überhaupt ist. Ableitung berechnen, \(6x - 12 {\color{red}\: + \: 12} = {\color{red}+ \: 12}\), \[\frac{6x}{{\color{red}6}} = \frac{12}{{\color{red}6}}\], 2.) B. der y-Achse) oder; zu einem Punkt (z. Der Hochpunkt hat die Koordinaten H \(\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}|{\color{blue}\frac{16\sqrt{3}}{9}}\right)\). Ableitung (für x = 2) ungleich Null ist. punktsymmetrisch? B. dem Ursprung) \(f({\color{red}0}) = {\color{red}0}^3-6 \cdot {\color{red}0}^2+8 \cdot {\color{red}0} = 0\). In diesem Lernweg erfährst du, was ganzrationale Funktionen sind, wie du sie bestimmen kannst und wie du mit ihnen rechnest. Ableitung der Funktion (Ableitungen können mit Rechenweg mit dem Ableitungsrechner berechnet werden, Stammfunktionen mit dem Integralrechner); Allgemeine Tangentengleichung; Minima und Maxima (Extrema der Funktion); Grenzwert der Funktion für ±∞ … Und dann gibt es noch Verweise um eine Ableitung einer solchen Funktion bilden zu können. Demnach überwiegt im Unendlichen der Term, der die Potenz mit dem höchsten Exponenten enthält. Teilen! Wir müssen also überlegen, wann die Funktion gleich Null wird. 9. Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen. Ableitung. Um eine ganzrationale Funktion abzuleiten, benötigt man die Faktorregel + Summenregel. Für bietet sich eine ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten an. Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(({\color{red}2}|{\color{blue}0})\). HILDEBRANDT, S. Access to full text p. 1-18 Göttinger Digitalisierungszentrum Characterizations of Ordinal Numbers in Set Theory. Wir müssen also \(x = 0\) in die Funktion einsetzen. Für kleine Werte strebt die Funktion gegen "- unendlich". Wer genau hinsieht, stellt fest, dass es sich um eine quadratische Gleichung handelt. Beginnen wir mit der Definition einer ganzrationalen Funktion um uns im Anschluss einige Beispiele anzusehen. Zeigt der Graph der Funktion hingegen am rechten Rand … der y-Achse ist oder ob keine Symmetrie vorliegt. \(x_2\) in die ursprüngliche (!) Die 2. und 3. Die Funktion f ist streng monoton abnehmend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden. Ableitung geben die Bereiche vor, die man untersuchen muss. Kurvendiskussion - Ganzrationale Funktion. Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynome. Wir liefern euch dazu sowohl eine Definition als auch einige Beispiele. Find books Einen beliebigen Wert kleiner bzw. Engage students in your virtual classroom with Prezi Video for Google Workspace \[\lim_{x\to +\infty}\left(x^3-6x^2+8x\right) = \infty\]. Erläutere Deine Gedanken. In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer ganzrationalen Funktion durch. Der Nullfunktion f mit f(x)=0 (für alle reellen Werte von x) wird kein Grad zugeordnet. Bei ganzrationalen Funktionen gibt es nur vier unterschiedliche Globalverläufe. Jetzt Mathebibel TV abonnieren und keine Folge mehr verpassen! Ableitung größer (bzw. randverhalten gebrochen rationale funktionen . Im Zentrum unserer Betrachtung ist die Funktion. » randverhalten gebrochen rationale funktionen. fällt. Nullstelle berechnet sich demnach folgendermaßen: \[x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a} =\frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}\]. Download books for free. Ableitung einsetzen, Nun setzen wir die berechneten Werte in die 2. Beispielsweise besteht die Polynomfunktion Eine ganzrationale Funktion beschreibt man mathematisch so. am rechten Rand nach oben, dann werden die Funktionswerte für immer größere Zahlen, die man in die Funktion einsetzt, auch immer größer. Die maximale Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist . 1. Das gleiche Gedankenspiel mache für "große" negative Zahlen. Bei ganzrationalen Funktionen – auch Polynomfunktionen genannt – sieht der Globalverlauf im Groben wie folgt aus. Zu allen Funktionsgleichungen sind die passenden Graphen 1 bis 3 angegeben. Alle Rechte vorbehalten. Blog. Welchen Verlauf eine ganzrationale Funktion hat, darüber entscheidet alleine der höchste Exponent und das Vorzeichen. Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. 1 Ganzrationale Funktionen – Verhalten an den Rändern und nahe Null Aufgabe 1: Graphen ganzrationaler Funktionen zuordnen1 a) Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen. Außerdem kann man bei einer solchen Funktion noch die Koeffizienten ablesen: Dazu liest man a0, a1, a2, ... an ab. Wie in (a) reicht es hier ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten zu wählen. Die folgende Funktion soll auf das Verhalten gegen plus und minus unendlich untersucht werden. Dezember 2020; Uncategorized; Gebrochen rationale Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass es um Brüche geht, wobei sich im Nenner mindestens ein x befindet. Im Anschluss gibt es eine Reihe an Beispielen inklusive Einstufung des Grades der ganzrationalen Funktion sowie die Bestimmung der Koeffizienten. Jan. 26, 2021. https://123mathe.de/symmetrie-und-verlauf-ganzrationaler-funktionen Ganzrationale Funktionen im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen! a. b Lösung anzeigen. Wähle aus jedem Intervall irgendeinen Wert, setze ihn in die 1. f(x) wird doch dann immer kleiner (also im negativen immer "größer"). Durch Ausklammern von \(x\) können wir den Funktionsterm faktorisieren: \(\begin{align*}f(x) &= x^3-6x^2+8x\\&= x \left(x^2-6x+8\right)\end{align*}\), Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:\(x \left(x^2-6x+8\right) = 0\). Für unsere Aufgabe gilt demzufolge: \(D_f = \mathbb{R}\). Faktor ist \(x\). Da wir gerade die Extremwerte berechnet haben, lässt sich leicht logisch erklären, in welchen Bereichen die Funktion steigt bzw. Je höher der Exponent einer Potenz von x, desto schneller auch dessen Wachstum. Welche Graphen der folgenden ganzrationalen Funktionen sind achsensymmetrisch bzw. Auch die lineare Funktion g mit g(x)=mx+c zählt zu den ganzrationalen Funktionen, sie ist vom Grad 1. In diesem Abschnitt geht es noch um den Unterschied zwischen einer gebrochenrationalen Funktion und einer ganzrationalen Funktion. zu einer Achse (z. Unsere Funktion hat Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4\). Geht er z.B. Es gilt: Die Funktion ist weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. Die höchste auftretende Potenz heißt Grad der Funktion , kurz: . Zunächst zum Unterschied. Abitur kompakt Wissen Mathematik | Werner Janka, Gerhard Palme | download | Z-Library. Untersuchen Sie, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik. Unter eine ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion vom Typ. und stellen fest, dass die 3. Am Wendepunkt wechselt der Graph seine Krümmung. \(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\), 1.) kleiner Null) wird. Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung = + +.Für = ergibt sich eine lineare Funktion.. Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion vom Grad . Bei einer Kurvendiskussion untersuchen wir eine Funktion auf verschiedene Merkmale. Schnittstellen von Funktionen sind die Punkte, in denen sich die Graphen dieser Funktionen überschneiden. Symmetrieverhalten. Zu allen betrachteten Fragestellungen gibt es auch einen eigenen Artikel: Zunächst berechnen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion. Nullstellen ganzrationaler Funktionen sind die x-Werte, die beim Einsetzen in eine solche Funktion zu dem Ergebnis \(f(x) = 0\) führen. Mit ausführlichen Lösungen in einem weiteren Beitrag. Mathematik Funktionen Kurvendiskussion Symmetrie Aufgaben zur Symmetrie von Graphen . Der Tiefpunkt hat die Koordinaten T \(\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}|{\color{blue}-\frac{16\sqrt{3}}{9}}\right)\). Die Software untersucht die Funktionen nach folgenden Kriterien: Nullstellen und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen; 1. bis 3. 3.) Der 1. Das kommt daher, dass Du vor dem Ausdruck ein negatives Vorzeichen hast! Copyright © 2019 www.frustfrei-lernen.de. Demzufolge liegt hier auch wirklich ein Wendepunkt vor. Five strategies to maximize your sales kickoff; Jan. 26, 2021. In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer ganzrationalen Funktion durch. Um die Ableitungen einer ganzrationalen Funktion zu berechnen, braucht man lediglich die Potenzregel. Die Funktionen der Form () = mit ≠ (also = =) heißen spezielle quadratische Funktionen. Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern. Auch gehe ich dann kurz auf den Unterschied zu einer gebrochen rationalen Funktion ein und Verweise auf Artikel zur Ableitung ganzrationaler Funktionen. ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden: \[f''({\color{red}x_1}) = f''\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right) = 6\cdot {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}-12 = -4\sqrt{3} \approx -6,93 < 0\], \[f''({\color{red}x_2}) = f''\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right) = 6\cdot {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}-12 = 4\sqrt{3} \approx 6,93 > 0\]. 3. Im Bereich \[\left]-\infty;\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion bis zum Hochpunkt steigt, Im Bereich \[\left]\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3};\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt fällt, Im Bereich \[\left]\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\infty\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt. Wir wissen jetzt, dass an der Stelle \(x_1\) ein Hochpunkt und an der Stelle \(x_2\) ein Tiefpunkt vorliegt. Koeffizienten und Bedeutung des Absolutglieds für den Graphen von f. Koeffizienten und Bedeutung des Absolutglieds für den Graphen von f. … Polynomfunktionen. Aufgaben Ganzrationale Funktionen II Symmetrie und Verlauf. Also zum Beispiel: Wie in (b) reicht es hier für eine ganzrationale Funktion mit nur ungeraden Exponenten zu wählen. Noch ein Hinweis: an ≠ 0. Siehe "Ganzrationale funktionen" im Wiki 1 Antwort + 0 Daumen. Wir müssen uns überlegen, wann die 2. So eine Funktion wird auch Polynomfunktion genannt. Ganzrationale Funktionen werden auch Polynome oder (seltener für Funktionen mit einem Grad größer 2) Parabeln genannt. Eine ganzrationale Funktion vom Grad hat höchstens Nullstellen. PS: Schon die aktuelle Folge meiner #MatheAmMontag-Reihe gesehen? Ganzrationale Funktionen. Beim Symmetrieverhalten geht es um die Frage, ob der Graph einer Funktion. Globalverhalten ganzrationaler Funktionen Von u nten n nach oben Von obe n ach unte n V o n o b e n V o n u t e n x→ -∞ : f(x)→ -∞ x→ +∞ : f(x)→ +∞ x→ -∞ : f(x)→ +∞ Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen. Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. y-Koordinate des Wendepunktes berechnen, Jetzt setzen wir \(x = 2\) in die ursprüngliche Funktion. Ableitung gleich Null setzen. Dazu setzen wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung, \(m = f'({\color{red}2}) = 3 \cdot {\color{red}2}^2-12 \cdot {\color{red}2}+8 = {\color{green}-4}\), Setzen wir unsere Ergebnisse in die Gleichung für die Wendetangente ein, so erhalten wir, \(t_w: \quad y = {\color{green}-4} \cdot (x - {\color{red}2}) + {\color{blue}0} = -4x + 8\), Nullstellen \(x_1 = 0\) \(x_2 = 2\) (Wendepunkt) \(x_3 = 4\), Extrempunkte Hochpunkt H (0,85 | 3,08) Tiefpunkt T (3,16 | -3,08). Ganzrationale Funktionen, auch Polynomfunktionen oder Polynome genannt, sind eine Summe von Potenzfunktionen. Oder anders gesagt: Größerer Input ergibt größeren Output. y-Koordinaten der Extrempunkte berechnen, Zu guter Letzt müssen wir noch die y-Werte der beiden Punkte berechnen.Dazu setzen wir \(x_1\) bzw. Überprüfen, ob 3. Ableitung berechnen, Um die Extremwerte zu berechnen, müssen wir die 1. Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: \(W_f = \mathbb{R}\), Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = f(x)\), Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = -f(x)\), Im ersten Schritt setzen wir "\(-x\)" in die Funktion, \(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3-6 \cdot ({\color{red}-x})^2+8 \cdot ({\color{red}-x}) = -x^3-6x^2-8x\). \[\begin{array}{c|ccc}& \left]-\infty;\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\right[ & \left]\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3};\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}\right[ & \left]\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\infty\right[ \\\hlinef'(x) & + & - & + \\& \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend}\end{array}\]. ein, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen: \(f({\color{red}2}) = {\color{red}2}^3-6\cdot {\color{red}2}^2+8 \cdot {\color{red}2} = {\color{blue}0}\). Randverhalten oder Globalverlauf. Nullstelle der 2. Man beachte, dass die Geraden oder Kurven je nach Funktion von den gezeigten abweichen und auch nicht zwingend – wie hier abgebildet – symmetrisch sind. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. Quiz Allgemeinwissen schwer (Allgemeinbildung), Infinitiv-und-Partizipien-Test (Aufgaben und Übungen). Für ganzrationale Funktionen lässt das Grenzverhalten auch ohne Wertetabelle bestimmen. Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn \(f''(x) < 0\) gilt. \[x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6}\], \[{\color{red}x_1} = \frac{12 - 4\sqrt{3}}{6} = {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}} \approx 0,85 \], \[{\color{red}x_2} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{6} = {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}} \approx 3,15\], 2.) Hi, Was passiert, wenn Du für x eine große positive Zahl einsetzt? Man möchte wissen, wie sich der Graph der Funktion mit größer oder kleiner werdendem x verhält. Faktor ist \((x^2-6x+8)\). Ableitung in die 2. Nullstellen der 1. Unter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion folgender Art: \[ f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0 \qquad \text{mit } a_n,\ldots,a_0 \in \mathbb{R} \] Nun können wir zum Begriff einer Kurvendiskussion kommen. Konstante Funktionen … Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis! Wer sich das nicht logisch erschließen kann oder die Extremwerte noch nicht berechnet hat, sollte eine Monotonietabelle nach folgendem Schema aufstellen. Den Grad der Funktion kann man am höchsten Exponent "n" ablesen. Ganzrationale Funktionen haben die folgende Form: f (x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 (mit n ∈ ℕ und a i ∈ ℝ) Ist a n ≠ 0, so hat f den Grad n. Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele ganzrationaler Funktionen: Die Funktion f mit f (x) = 8 ist eine konstante Funktion. Lineare und quadratische Funktionen; Stochastik; Vorbereitung ZP10; Jahrgang 11 (G9) - E-Phase. Ganzrationale Funktion. Ordne ohne GTR zu, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört. ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion vom TypSo eine Funktion wird auch Polynomfunktion genannt \[\lim_{x\to -\infty}\left(x^3-6x^2+8x\right) = -\infty\], Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:"Welche y-Werte kann die Funktion annehmen?". Die Nullstellen der 1. Jetzt wenden wir den Satz vom Nullprodukt an:Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
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